МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

1 - 2 Модули, 2002-2003

Профессора: д.э.н. В.М.Полтерович, д.ф.-м.н. Е.Г.Гольштейн, д.э.н. М. И. Левин,
д.ф.-м.н.  А.А.Шананин, к.ф.-м.н. А.И.Сотсков, д.ф.-м.н. В. А. Булавский

Ассистенты:

 Цель курса - ознакомить студентов с математическим инструментарием, который находит особенно важные применения в экономической теории и, в частности, используется в лекциях по микро- и макроэкономике.

 Курс “Математика для экономистов” читается на первом году обучения для двух потоков в Модулях 1 и 2 и является обязательным.

 Курс включает 28 лекций и 13 семинарских занятий. В первом потоке каждую из семи тем курса читает профессор, имеющий опыт научной работы в соответствующей области математики или ее приложениях в экономике: Е.Г. Гольштейн, А.И. Сотсков, М.И. Левин, А.А. Шананин. Во втором потоке курс читает проф., д.ф.-м.н. В.А.Булавский. Координирует программу курса проф.В.М. Полтерович.

 Курс предусматривает сдачу двух экзаменов: в конце первого модуля по Темам 1-3 и в конце второго модуля - по Темам 4-7. В документ об окончании школы проставляется средняя из двух оценок. Оценки по результатам семинарских занятий имеют вес 0,3, а результаты экзаменов - 0,7 в общей оценке по курсу.

 Ниже приводится план курса. В скобках после названия темы указаны фамилия лектора, читающего в первом потоке, и число читаемых по данной теме лекций. Ссылки на литературу даны по общему списку, помещенному в конце программы.

Введение
(В.М. Полтерович, 1 лекция - для двух потоков)

 Математика в экономической теории: история и роль.

 Литература: 1.

 ТЕМА 1.Дифференциальные уравнения и теория устойчивости
(А.А.Шананин, 6 лекций)

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Существование и единственность решений. Лемма Грануолла. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Непрерывная зависимость решений дифференциального уравнения от параметров. Уравнение в вариациях.

 Теорема устойчивости. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость. Первый метод Ляпунова. Теорема о неустойчивости.

 Признаки устойчивости. Устойчивые полиномы. Необходимые условия устойчивости. Критерий Рауса-Гурвича.

 Второй метод Ляпунова. Устойчивость процессов регулирования цен.

 Предельные циклы. Орбитальная устойчивость. Бифуркация Хопфа.

 Литература: 11-14,22,26.

ТЕМА 2. Элементы выпуклого анализа
(Е.Г.Гольштейн, 3 лекции)

Выпуклые множества, внутренность и относительная внутренность выпуклых множеств, размерность выпуклых множеств.

 Теоремы отделимости. Крайние точки выпуклых множеств, выпуклые многогранники и многогранные множества. Два эквивалентных определения выпуклых (вогнутых) функций, квазивыпуклые (квазивогнутые) функции. Свойства выпуклых и квазивыпуклых функций. Понятие субдифференциала (супердифференциала). Непрерывность, дифференцируемость и субдифференцируемость выпуклых функций.

 Основы субдифференциального исчисления, сопряженные функции и их свойства.

Литература: 1, 4, 6, 9, 10, 15.

ТЕМА 3. Элементы нелинейного программирования
(Е.Г.Гольштейн, 4 лекции)

 Задача выпуклого программирования, функция Лагранжа, двойственная задача. Седловые точки функции Лагранжа и пара взаимодвойственных  задач выпуклого программирования.

 Условия Слейтера и его варианты. Теоремы Куна-Таккера для задач выпуклого программирования. Необходимые и достаточные условия оптимальности для задачи выпуклого программирования в дифференциальной форме.

 Оптимизационные задачи, порождаемые квазивыпуклыми функциями, необходимые и достаточные условия оптимальности в дифференциальной форме. Примеры использования условий оптимальности для отыскания  решения задачи (задача эффективного использования ресурсов, задачи максимизации полезности при бюджетном ограничении).

 Функции возмущения задач выпуклого программирования, связь между субдифференциалом функции возмущения и множеством решений двойственной задачи, теоремы о маргинальных значениях для задач выпуклого программирования  и их экономический смысл.

 Общие задачи нелинейного программирования, локальный и глобальный оптимум, строгий локальный оптимум, условия регулярности ограничений задачи, теорема Куна-Таккера для гладких задач нелинейного программирования (необходимые условия оптимальности 1-го порядка).

 Необходимые условия оптимальности второго порядка, достаточные условия оптимальности второго порядка

 Дифференцируемость решений и множителей Лагранжа гладких задач нелинейного программирования  по параметрам, связь с маргинальными  значениями.

 Экономические приложения: теория спроса (функции полезности и функции спроса, уравнения Слуцкого), децентрализация решений; модели экономической динамики.

 Литература: 3, 4, 6, 8, 9, 15, 19, 27, 28..

ТЕМА 4. Парето-оптимальность
(М.И.Левин, 2 лекции)

Парето-оптимальность в сильном и слабом смысле. Теорема о свертке критериев. Необходимые и достаточные условия Парето-оптимальности. Парето- оптимальные и равновесные состояния.

Литература: 5,7, 10, 19.

ТЕМА5. Теоремы о неподвижной точке
(М.И.Левин, 3 лекции)

Принцип сжимающих отображений. Приложение: существование решений дифференциальных уравнений.

 Теоремы Брауэра и Какутани. Лемма Гейла-Никайдо. Приложения: существование равновесия по Нэшу; существование конкурентного равновесия.

 Теорема Бирхгофа-Тарского и ее приложения.

 Литература: 5-7,20.

ТЕМА 6. Принцип максимума
(А. И. Сотсков, 6 лекций)

 Различные постановки задач оптимального управления. Задачи в дискретном и непрерывном времени, конечный и бесконечный гори­зонты, различные виды краевых условий. Примеры: модель планирования с конечным горизонтом (с терминальным и интегральным функционалами), модели оптимального экономического роста, модель Рамсея.

Принцип максимума как необходимое условие оптимальности для задачи на конечном интервале со свободным правым концом. Случаи непрерывного и дискретного времени. Интерпретация двойственных переменных. Случаи, когда условия принципа максимума являются и достаточными.

 Классическая задача вариационного исчисления в непрерывном времени. Уравнение Эйлера как условие экстремальности первого порядка. Связь между принципом максимума и теоремой Куна-Таккера в дискретном случае.

 Принцип максимума в других задачах оптимального управле­ния. Условия трансверсальнос­ти).

 Оптимизация  на бесконечном  временном интервале.

 Литература: 2,13,15,16,21,23,24,25.

ТЕМА 7. Динамическое программирование
(А. И. Сотсков, 3 лекции)

 Метод динамического программирования для задачи оптимального управления в дискретном и непрерывном времени. Функция выигрыша Беллмана и принцип оптимальности. Рекуррентные соотношения.

 Автономные модели. Терминальный функционал и "проблема хвоста" в задаче динамического  планирования.

Уравнение Беллмана. Синтез оптимального управления.

 Связь между производными динамическим программированием и двойственными принципом максимума.

 Принцип оптимальности в стохастическом случае.

Литература: 2,10,13,16-18.

ЛИТЕРАТУРА

1. K.J. Arrow and M.D. Intriligator. Historical introduction. In: Handbook of Mathematical Economics. V.1. Eds: K.J. Arrow, M.D.Intriligator. North-Holland, 1981,  p.1-14.

 2. Carl P.Simon, Lawrence Blume. Mathematics for Economists. W.W. Norton & Company, Inc., New York, 1994

 3. Е.Г. Гольштейн, Н.В. Третьяков. Модифицированные функции Лагранжа. Москва, Наука, 1989

 4. Р. Рокафеллар. Выпуклый анализ. Мир, Москва, 1973.

 5. Х. Никайдо. Выпуклые структуры и математическая экономика. Мир, Москва, 1972

 6. Ж.-П. Обен. Нелинейный анализ и его экономические приложения. Мир, Москва, 1988

 7. И. Экланд. Элементы математической экономики. Мир, Москва, 1983

 8. С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. Наука, Москва, 1984

 9. Б.Т. Поляк. Введение в оптимизацию. Наука, Москва, 1983

 10. М.Д. Интрилигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория. Прогресс, Москва, 1975

 11. E.A. Coddington, N. Levinson. Theory of ordinary differential equation. N.Y., Toronto, London, 1955

 12. В.И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва, 1978

 13. Л.С. Понтрягин, и др. Математическая теория оптимальных процессов. Физматгиз, Москва, 1961

 14. Б.П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. Москва, 1967

 15. В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. Сборник задач по оптимизации. М., Наука, 1984

 16. Daniel Leonard and Ngo Van Long. Optimal Control Theory and Static optimization in Economics. Cambridge University Press, 1992

 17. Р. Беллман. Динамическое программирование. М., Мир, 1960

 18. В.З. Беленький. Объективные функционалы в стационарных моделях экономической динамики. - В кн. “Математический аппарат экономического моделирования”. М., Наука, 1983, с.216-222

 19. С. Карлин. Математические методы в теории игр, программировании, и экономике. Мир, Москва, 1964

 20. Дж. Ортега, В. Рейнболдт. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. Мир, Москва, 1975

 21. В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. Теория оптимального управления. Наука, Москва, 1979

 22. Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва, 1970

 23. В.Г. Болтянский. Оптимальное управление дискретными системами. М., Наука, 1973

 24. В.Г. Болтянский. Математические методы оптимального управления. М., Наука, 1969

 25. O.J. Blanchard, S. Fisher. Lectures on Macroeconomics. The MIT Press, Cambridge, Mass. 1992

 26. J.E. Marsden, M.McCracken. The Horf bifurcation and its applications. N.Y., 1976

 27. А. Фиакко, Г. Мак-Кормик. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М., Мир, 1972

 28. D.G. Luenberger. Introduction to Linear Programming and Nonlinear Programming. Addison-Wesley Publishing Company, 1973